Wiskunde – algebraïsche vaardigheden

Wiskundige bewerkingen “uit het niets”

Er zijn twee vaak voorkomende situaties waarin het toegestaan is “uit het niets” wiskundige bewerkingen toe te voegen.

Situatie 1: volledige vergelijkingen

Wanneer je een volledige vergelijking hebt (i.e. iets links én rechts van een = teken),
dan mag je iedere denkbare bewerking doen op alles aan één kant van het = teken,
zolang je tegelijkertijd exact dezelfde bewerking ook op alles aan de andere kant van het = teken doet.

Waarom mag dit?
Omdat wanneer je dit zo doet datgene wat links van het = teken staat nog steeds gelijk blijft aan datgene wat rechts van het = teken staat. Met andere woorden: de vergelijking blijft waar.

Voorbeeld:

een volledige vergelijking (i.e. een = teken met iets links én rechts er van) als begin situatie:13x2+5x+9=13alles links én alles rechts kwadrateren mag:(13x2+5x+9)2=(13)213x2+5x+9=13alles links én rechts vermenigvuldigen met 3 mag:(13x2+5x+9)⋅3=(13)⋅3x2+15x+27=39alles links én rechts aftrekken met 27 mag:(x2+15x+27)−27=(39)−27x2+15x=12\begin{aligned} & \text{een volledige vergelijking (i.e. een = teken met iets links én rechts er van) als begin situatie:} \\ & \sqrt{\frac{1}{3}x^2+5x+9}=\sqrt{13} \\ & \text{alles links én alles rechts kwadrateren mag:} \\ & \left(\sqrt{\frac{1}{3}x^2+5x+9}\right)^2=\left(\sqrt{13}\right)^2 \\ & \frac{1}{3}x^2+5x+9 = 13 \\ & \text{alles links én rechts vermenigvuldigen met 3 mag:} \\ & \left( \frac{1}{3} x^2 + 5x +9 \right) \cdot 3 = \left( 13 \right) \cdot 3 \\ & x^2 + 15x + 27 = 39 \\ & \text{alles links én rechts aftrekken met 27 mag:} \\ & \left( x^2 + 15x + 27 \right) -27 = \left( 39 \right) – 27 \\ & x^2 + 15x = 12 \end{aligned} \\

Situatie 2: breuken

Wanneer je ergens een breuk hebt staan (maakt niet uit waar),
dan mag je in die breuk iedere denkbare vermenigvuldiging of deling doen op alles in de teller,
zolang je exact dezelfde vermenigvuldiging of deling ook doet op alles in de noemer.

Waarom mag dit?
Omdat wanneer je dit zo doet de totale waarde van de breuk zich niet verandert.

Maar let op: andere bewerkingen als vermenigvuldigen of delen mogen hier niet! (want als je dat zou doen dan gaat de totale waarde van de breuk zich normaal wel gaan veranderen)

Voorbeeld:

Een vergelijking die een breuk bevat als begin situatie:5x+(x+1)(x−1)(x−1)⋅x2=x3+9alleen in de breuk teller én noemer delen door (x−1) mag:5x+(x+1)(x−1)(x−1)⋅x2=x3+95x+(x+1)x2=x3+9\begin{aligned} & \text{Een vergelijking die een breuk bevat als begin situatie:} \\ & 5x + \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1) \cdot x^2} = x^3 + 9 \\ & \text{alleen in de breuk teller én noemer delen door } (x-1) \text{ mag:} \\ & 5x + \frac{(x+1)\sout{(x-1)}}{\sout{(x-1)} \cdot x^2} = x^3 + 9 \\ & 5x + \frac{(x+1)}{x^2} = x^3 + 9 \end{aligned}

Nog een voorbeeld:

een vergelijking die een breuk bevat als begin situatie:3x+87x⋅11x=x4alleen in de breuk teller én noemer vermenigvuldigen met 7x mag:3x+(8)⋅7x(7x⋅11x)⋅7x=x43x+8⋅7x11x⋅7x=x43x+8⋅7x77x2=x4\begin{aligned} & \text{een vergelijking die een breuk bevat als begin situatie:} \\ & 3x + \frac{8}{\sqrt{7x} \cdot 11x} = x^4 \\ & \text{alleen in de breuk teller én noemer vermenigvuldigen met } \sqrt{7x} \text{ mag:} \\ & 3x + \frac{(8) \cdot \sqrt{7x}}{(\sqrt{7x} \cdot 11x) \cdot \sqrt{7x}} = x^4 \\ & 3x + \frac{8 \cdot \sqrt{7x}}{11x \cdot 7x} = x^4 \\ & 3x + \frac{8 \cdot \sqrt{7x}}{77 x^2} = x^4 \\ \end{aligned}

Andere situaties

In alle andere situaties mag je normaal niet bewerkingen “uit het niets” toevoegen.

Quiz